Sejarah Lampau Tentang π dari Abad ke Abad

Sejarah lampau tentang π dari abad ke abad [1]

Dari berbagai sabak/tablet lempung, kayu, dan batu yang pernah ditemukan, disimpulkan catatan-catatan bahwa bangsa Babilonia telah menggunakan π = 3 sejak tahun 4000 SM (Sebelum Masehi), kemudian π = 25/8 = 3,125 pada 1900–1600 SM. Bangsa Mesir telah telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan π = (16/9)^2 ≈ 3,1605 sejak tahun 1850 SM. India menggunakan π = (9785/5568)^2 ≈ 3.088 sejak tahun 600 SM. Bangsa Indian menggunakan π = sqrt(10) ≈ 3.1622 sejak tahun 150 SM.

Definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pendekatan yang lebih jelas ditemukan dari catatan tahun 250 SM milik Archimedes dari Syracuse Yunani. Perhitungan keliling lingkaran dilakukan oleh Archimedes dalam pendekatan bentuk lingkaran sebagai suatu polygon, yaitu bentuk segi-banyak sama sisi. Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehingga dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429). Pendekatan polygonal Archimedes ini mendominasi metode pencarian nilai π hingga 1000 tahun lebih. Bahkan pendekatan nilai π = 22/7 yang sempat dikenal sebagai “konstanta Archimedes” itu masih digunakan hingga sekarang.

Sebagai gambaran, perimeter-perimeter lingkaran dengan menggunakan polygon segi-lima (pentagon), segi-enam (hexagon), dan segi-delapan (octagon) yang lebih sederhana dapat dilihat pada gambar di bawah ini:

Di China, nilai-nilai π yang pernah dipergunakan meliputi 3,1547 (sekitar tahun 1 M),  sqrt(10) = 3,1623 (sekitar tahun 100 M), and 142/45 = 3,1556 (sekitar abad ke-3 M). Pada masa kekaisaran Wei di sekitar tahun 265 M, matematikawan Liu Hui menggagas algoritma iteratif untuk menghitung keliling lingkaran berdasarkan polygon 3.072 sisi yang menghasilkan nilai π = 3,1416. Algoritma Liu Hui dapat menghasilkan nilai π = 3,14 lebih cepat dari polygon 96 sisi dengan memanfaatkan sifat bahwa perbedaan dari selisih luas polygon berurutan dengan sisi tetap adalah berkelipatan 4, yaitu selisih antara luas polygon sisi-N terhadap polygon sisi-(N – 1) adalah 4 kali lipat dari selisih antara luas polygon sisi-(N – 1) terhadap polygon sisi-(N – 2) jika semua polygon memiliki sisi yang sama. Matematikawan Zu Chongzhi pada tahun 480 M menggunakan algoritma Liu Hui dengan menggunakan polygon 12.288 sisi yang menghasilkan nilai π = 355/113 = 3,141592920… yang dianggap akurat hingga 800 tahun kemudian.

Di Persia, pada tahun 1424 dipublikasikan Risala al-Muhitiyya (“Treatise on the Circumference”) oleh Jamshid Masud al-Kashi al-Kashani yang mengemukakan perhitungan berdasarkan struktur polygon 3 x 2²⁸ sisi dengan hasil π = 3,1415 9265 3589 7932 5… yang memberikan ketelitian 17 digit desimal. Dengan nilai tersebut oleh Al-Kashani dikatakan bahwa perhitungan keliling suatu lingkaran berdiameter 600.000 kali diameter bumi (rataan jejari bumi 6.370 km) akan memberikan kesalahan yang kurang dari “ketebalan rambut ekor kuda”, suatu ukuran Persia kuno yang setara dengan sekitar 0,7 millimeter. Al-Kashani telah memberikan pemahaman dengan baik mengenai ketakbermaknaan deretan panjang angka desimal [9].

Penggunaan pertama kali simbol π  dan pengukuhan definisinya sebagai ratio keliling lingkaran (C) terhadap diameternya (d), yaitu π  = C /d , dikemukakan oleh William Jones (matematikawan Inggris dari Welsh Inggris, teman baik Isaac Newton dan Edmun Halley) pada tahun 1706 dalam bukunya Synopsis Palmariorum Matheseos (A New Introduction to the Mathematics) yang membahas tentang kalkulus diferensial dan deret tak hingga. Sesudah itu, simbol π tidak pernah digunakan lagi hingga pada tahun 1736 mulai digunakan lagi oleh Leonhard Euler (matematikawan Swiss yang pernah tinggal di Jerman dan Rusia). Leonhard Euler adalah murid doctoral Johann Bernoulli dan kemudian menjadi dosen doctoral untuk Joseph Louis Lagrange. Dia sangat dikagumi oleh Pierre-Simon Laplace. Terutama pada tahun 1748, melalui dua volume bukunya Introductio in analysin infinitorum (Introduction to the Analysis of the Infinite), penggunaan simbol π oleh Euler semakin dikenal luas hingga saat ini.

Acuan definisinya dengan bentuk lingkaran telah menyebabkan π banyak dipergunakan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometeri, khususnya yang terkait dengan bentuk-bentuk lingkaran, elips, bola, elipsoida. Struktur-struktur tersebut juga banyak dijumpai dalam berbagai percabangan sains, seperti kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagntika. Terdapatnya dalam berbagai fenomena matematika dan sains menyebabkan π menjadi salah satu dari lima konstanta terpopuler bersama 0, 1, i = sqrt(–1), dan e (bilangan natural/Euler). Konstanta π dikenal baik oleh kalangan dalam maupun kalangan luar scientific. Bahkan parlemen Amerika Serikat menyetujui adanya hari khusus untuk memperingati keberadaan π, yaitu pada setiap bulan Maret tanggal 14 atau dituliskan dengan format bulan/tanggal adalah 3/14, yang disebut sebagai π-Day/Hari-π, diperingati oleh orang-orang dengan makan macam-macam kue pie dan mendiskusikan berbagai perkembangan mutakhir tentang π [6].

Napak tilas π a-la Archimedes

Sekarang, mari kita menapak tilas pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran seperti yang pernah dilakukan oleh Archimedes. Kita hitung saja keliling lingkaran berdiameter 1 berdasarkan keliling polygon segi-enam (hexagon) sebagai perimeter dalam dan perimeter luar seperti pada gambar di bawah ini:

Dengan menggunakan pendekatan hexagonal, diperoleh keliling hexagon dalam adalah 3 dan keliling hexagon luar adalah 2 sqrt(3) = 3,46410161513776. Jika kita kembali ke definisi π sebagai ratio keliling lingkaran terhadap diameternya (π = C /d), maka diperoleh nilai-nilai batas bawah dan batas atas 3,0 < π < 3,46410161513776. Nilai batas bawah π = 3 adalah penggunaan awal nilai π yang pernah digunakan oleh bangsa Babilonia tahun 4000 SM dan hingga saat ini digunakan pada sekolah-sekolah dasar di Jepang untuk pengenalan awal tentang penggunaan π.

Dengan cara seperti itulah, semakin tinggi orde polygon yang digunakan sebagai pendekatan untuk menghitung keliling lingkaran, maka nilai batas bawah dan batas atas yang makin konvergen. Konvergensi nilai tersebut seperti yang dihasilkan oleh Archimedes 223/71 < π < 22/7 (3 + 10/71 < π < 3 + 10/70  atau 3,1408 < π < 3,1429) dengan menggunakan 96-gon, oleh Liu Hui π = 3.1416 dengan menggunakan 3.072-gon, dan oleh Zu Chongzhi π = 355/113 = 3,1415929204… dengan menggunakan 12.288-gon.

Kita juga bisa menghitung dengan cara lain, yaitu dengan memanfaatkan fungsi-fungsi trigonometri terhadap segitiga siku-siku Phytagoras yang dapat kita analisis pada struktur polygon di atas. Untuk polygon orde-6 (hexagon), dasar perhitungan keliling perimeter hexagon dalam (Inner Perimeter) adalah:

Inner Perimeter = 6 AC = 6 x 2 x jejari AO x sin (½ x 360⁰/6) = 6 sin (½ x 360⁰/6)

Sedangkan perimeter hexagon luar (Outer Perimeter) adalah:

Outer Perimeter = 6 DF = 6 x 2 x jejari OE x tan (½ x 360⁰/6) = 6 tan (½ x 360⁰/6)

Dengan demikian, jika sruktur polygon untuk perimeter dalam dan perimeter luar kita kembangkan untuk orde-N yang lebih umum atau lebih tinggi, maka akan diperoleh rumusan yang lebih umum, yaitu:

π by Inner Perimeter = N sin (180⁰/N)

π by Outer Perimeter = N tan (180⁰/N)

Dengan cara ini, sebenarnya kita sedang memindahan persoalan akurasi perhitungan π menjadi persoalan akurasi perhitungan nilai fungsi trigometri sinus dan tangens. Mari kita bandingkan hasil-hasil kalkulasi dengan 10 angka desimal menggunakan perangkat lunak Microsoft Excel untuk pendekatan dari polygon 12.288 sisi Zu Chongzhi:

• π by Inner Perimeter = 12.288 sin (180⁰/12.288) = 3,1415926194…
• π by Outer Perimeter = 12.288 tan (180⁰/12.288) = 3,1415927220…
• π kalkulasi Algoritma Zu Chongzhi = 355/113 = 3,1415929204…
• π kalkulasi Microsoft Excel untuk fungsi PI() = 3,1415926536…

Dari pendekatan polygonal di atas, dapat pula diturunkan Algoritma Rekursif Archimedes yang digunakan oleh Liu Hui dan Zu Chongzhi, yaitu [7]:

• Insialisasi dari hexagon (n = 0):

Initial Outer Perimeter (OP₀) = 2 sqrt(3) = 3,4641016151378

Initial Inner Perimeter (IP₀) = 3,0000000000000

• Iterasi ke-n mulai n = 1, 2, dst untuk polygon 6 x 2ⁿ berlaku:

Outer Perimeter ke-n       : OP_n = 2 OP_n–1 IP_n–1  /(OP_n–1 + P_n–1)

Inner Perimeter ke-n        : IP_n = sqrt(OP_n IP_n–1)

sehingga dapat diperoleh hasil-hasil melalui perhitungan sederhana sebagaimana pada tabel di bawah ini. Kolom terakhir tabel tersebut menggambarkan selisih antara keliling perimeter luar terhadap keliling perimeter dalam polygon sebagai bentuk pendekatan bentuk lingkaran berdiameter 1. Perhatikan pada tabel tersebut hasil-hasil dari polygon segi-96 Archimedes pada iterasi ke-4, polygon segi-3072 Liu Hui pada iterasi ke-9, dan polygon segi-12.288 Zu Chongzhi pada iterasi ke-11. Terlihat pada iterasi ke-20 kita peroleh selisih perimeter luar terhadap perimeter dalam sebesar  4 x 10^–12 dengan polygon segi-6.291.456 sama sisi.

Sifat-sifat  π :

Beberapa sifat π yang penting adalah sebagai berikut [1]:

1. Nilai π adalah bilangan irasional, artinya tidak dapat secara tepat dinyatakan dengan ratio bilangan integer terhadap bilangan integer. Pernyataan nilai π = 22/7 atau 355/113 merupakan suatu nilai pendekatan rasionaliasi yang sangat populer. Pernyataan nilai π dalam angka desimal akan memiliki panjang angka desimal di belakang koma dengan panjang tak-berhingga.
2. Nilai π juga merupakan bilangan transendental, artinya tidak menjadi solusi bagi persamaan polinomial tak-konstan yang memiliki koefisien-koefisien rasional. Transendensi pada π memiliki dua konsekuensi, yaitu: pertama, π tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi bilangan-bilangan rasional maupun sebagai akar kuadrat dan akar integer dari suatu bilangan integer; kedua, tidak mungkin dibuat suatu segi empat bujursangkar dengan luasan yang sama dengan luas lingkaran yang sesuai (squaring a circle), dengan sisi segi empat bujur sangkar sqrt (π) seperti pada gambar di bawah ini.
3. Digit-digit desimal pada π tidak memiliki pola keteraturan dan telah dibuktikan memiliki keacakan secara statistik, termasuk dalam uji normalitas dengan hasil yang tidak konsisten. Suatu bilangan irasional dikatakan memenuhi sifat normalitas jika semua angka yang muncul dalam deretan angka desimalnya memiliki tingkat keseringan muncul yang sama.
4. Meskipun bersifat rasional dan transendental dengan pola desimal tak beraturan, terdapat pula upaya para matematikawan untuk melakukan pendekatan fraksional kontinu (continued fractional) dengan pola tertentu, seperti berikut: